辛几何&李代数

元素

习惯上,研究体系(矿物岩石等)中,分为: 1.常量元素/主要元素(major element):元素含量大于1%; 2.次要元素(minor element):元素含量在1%~0.1%之间; 3.微量元素/痕量元素(trace element):元素含量小于0.1。 微量元素的范围是相对的,取决于研究者... 澳门金沙官网网址_澳门金沙开户注册_澳门金沙平台网站阅读全文

习惯上,研究体系(矿物岩石等)中,分为:
1.常量元素/主要元素(major element):元素含量大于1%;
2.次要元素(minor element):元素含量在1%~0.1%之间;
3.微量元素/痕量元素(trace element):元素含量小于0.1。
微量元素的范围是相对的,取决于研究者的兴趣和对研究问题的帮助。
微量元素的主要4种分类方法:
1.按元素周期表,依化学性质分类:
    (1)稀碱元素;
    (2)稀有元素;
    (3)稀土元素;
    (4)过渡族元素。
2.戈尔德施密特的元素地球化学分类系统:
    (1)亲石元素;
    (2)亲铁元素;
    (3)亲铜元素;
    (4)亲气元素。
3.地球化学作用过程中常常存在液相(熔体相、流体相)和固相(结晶相)共存关系,有些元素容易进入固相,另一些则容易进入液相。
    (1)相容元素:倾向于集中在固相;
    (2)不相容元素:倾向于集中在液相。
4.在行星和陨石的研究中,分类为:
    (1)难熔元素;
    (2)挥发性元素;
    (3)亲铁(铜)元素;
    (4)仅在球粒陨石中挥发的元素。
其中对不相容元素,又有3种进一步划分的方案:
    (1)根据分配系数:
        ①强不相容元素;
        ②中等不相容元素;
        ③弱不相容元素。
    (2)根据离子半径和离子电荷:
        ①大离子亲石元素;
        ②高场强元素;
    (3)根据熔体:
        ①长期不相容元素;
        ②短期不相容元素。

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对于三角形的情况, 我们使用有向面积来判断,假设三角形三个点为(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3), 需要判断的点为(x,y). 根据向量代数的公式, 已知3点坐标, 判断三角形有向面积为 有向面积的正负与行列式的排列顺序有关(交换行列式的任意两行, 行列式的正负发生变化)简单的可以展开为 A0 = (x1y2 & x1y3 & x2y1 ... 澳门金沙官网网址_澳门金沙开户注册_澳门金沙平台网站阅读全文

对于三角形的情况, 我们使用有向面积来判断,假设三角形三个点为(x1,y1),(x2,y2), (x3,y3), 需要判断的点为(x,y). 根据向量代数的公式, 已知3点坐标, 判断三角形有向面积为

点是否在 三角形,凸多边形, 凹多边形,四面体高维单形内的判断

有向面积的正负与行列式的排列顺序有关(交换行列式的任意两行, 行列式的正负发生变化)

简单的可以展开为 A0 = (x1y2 – x1y3 – x2y1 + x3y1 + x2y3 - x3y2)/2. 这个判断式子与 叉乘的判断的公式是一模一样的. 可以看出通过有向面积可以统一 <编程之美>中的两种方法, 面积与叉乘的方法在数学本质上是一致的.

 

如何判断一个点在四面体的内部呢? 使用有向体积的概念. 假设四面体的四个顶点的坐标为 (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3), (x4,y4,z4).  需要判断的点为(x,y,z). 那么原来四面体的有向体积 为

 

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同理剩下的4个有向体积分别为

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点是否在 三角形,凸多边形, 凹多边形,四面体高维单形内的判断

 

判断准则很简单, V0与V1V2V3V4都同向的时候, 则点位于四面体内, 否则位于四面体外.  当Vi = 0 的时候, 则此四面体退化了.

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数学家破解百年高维“球体填充问题”

有些人的工作是在噪声图像中分离信号,以寻找来自数十亿公里外的外星文明;有些人在研究弦理论,以探索宇宙中基本要素的内在联系;有些人则在食品店堆放水果,以求最节省空间的方法从而码得最多。奇妙的是,这些看似无关的事情都因为数学纽带而联系到一起&&它们都涉及到球体填充问题。只不过有些球体存在于其他维度。让我们看看数学家有什么最新发现。 早在1611年,... 澳门金沙官网网址_澳门金沙开户注册_澳门金沙平台网站阅读全文

有些人的工作是在噪声图像中分离信号,以寻找来自数十亿公里外的外星文明;有些人在研究弦理论,以探索宇宙中基本要素的内在联系;有些人则在食品店堆放水果,以求最节省空间的方法从而码得最多。奇妙的是,这些看似无关的事情都因为数学纽带而联系到一起——它们都涉及到球体填充问题。只不过有些球体存在于其他维度。让我们看看数学家有什么最新发现。

 

数学家破解百年高维“球体填充问题”

 

早在1611年,开普勒就已经推测出如何码放相同大小的球体能够达到最密集效果。他认为,形如金字塔那样的堆积方式乃是正解,就像在水果店里见到的桔子那样。球与球之间总会存在空隙,通过进一步研究,数学家们发现在满满一袋子网球里面,大约36%的空间都是空气。假如你能够精心排布这些网球,那么这个比例可以降低到26% (亦称26%法),但是人们在一百年前就已经认识到,26%乃是其极限。而对于开普勒的猜想,直到1998年,才被现在匹兹堡大学的Thomas Hales教授所证明。据说当时数学论证文档长达250页,还动用了猛犸象计算机。

 

其实,玩数学的人还会在高维度下鼓弄球体填充游戏——球的定义依然不变,但“距离”这一概念则在我们熟知的三维系统 (比如x,y,z轴) 之外获得了更多属性。其实,高维球体的定义并不复杂:在高维空间下到给定球心距离相等的一组点所构成的即为高维球体。重要的是,在多维环境下将具有更多的码放方法。所以寻找能够空间利用率最高的球体排布可能性一直是主要挑战。

 

不过,我们很难对高维度下的球体填充进行视觉呈现,但它们却是非常实际的存在:高密度的球体填充与我们常见的纠错代码有着密切关系。早在上世纪60年代,John Leech试图纠正信号在传播过程中所积累的错误或噪声。他发现在24维度下处理数据会非常实用,尤其对于从5亿英里以外传送回木星图像这种工作来说。

 

数学家破解百年高维“球体填充问题”
旅行者1号

 

十年后,旅行者1号和2号确实采用了这一方法。1977年,NASA在发射木星和土星探测器前曾面临着重要难题:在极低的电力供应下,如何将旅行者号拍摄的彩色图片传送回地球?当时所采取的方式是将图像转换为一组24位的二进制序列,成为“代码字”。代码字以无线电波的形式发射进宇宙,波峰和波谷分别代表1和0。但数据传输总会伴随着噪声,有时1会失真为0,有时0又会变成1。所以要还原旅行者号的图像,就需要纠错。

 

一方面,代码字需要足够清晰显著以便识别;另一方面,在24位的限制下,相对含混模糊的代码字才能提供更多的可能性,以及更快的数据传输速度。这样的矛盾与需求也随之转化为几何问题,比特位对应在了空间坐标上,每段代码字都成为一个24维空间下球体的球心。如果球体发生重叠,那么相关的代码字也将无法被识别。为了最大化地传输数据并且进行纠错,问题最终演变为:如何在24维空间下最密集地填充球体?

 

数学家破解百年高维“球体填充问题”
E8 lattice points

 

长久以来,数学家们已经积累了大量证据,几乎要默认E8和Leech晶格 (两者分别为8维度和24维度下极为美妙且对称的球体填充模型) 就是两种维度下的最佳填充方法。但他们一直缺少一项关键证据,即一个能够计算可容许球体最大密度的函数。

 

如今,乌克兰数学家Maryna Viazovska似乎已经找到了答案。今年3月,她先后在论文预印网站上贴出了两个重要的成果。她首先从8维空间球体排布开始说起,证明了E8晶格 (E8 lattice) 在8维空间中具有最大密度。E8很像是高维版本的“26%法”问题,只不过在8维空间下,球体之间拥有更多空隙,可以多塞进去一些。

 

数学家破解百年高维“球体填充问题”

Maryna Viazovska

 

当然,弦理论家并不会摆弄球体,他们只是将E8结构当作不同维度下的弦理论彼此关联方式中的重要组成部分。弦理论从26个维度开始,并需要折叠简化至我们所熟知的3维。E8则包含了折叠所需要的所有必要属性。

 

数学家和物理学家认为这绝不是一个巧合。他们觉得这样一个维度是最为简单有效的,因为再添加任何一维空间都会使其更难以解释。可能他们还真说对了,Viazovska已经可以证明E8结构不会留下任何额外空间,对于8维球体填充来说这是最高效的方法。

 

数学家破解百年高维“球体填充问题”

 

不过她并没有止步于此。在发布了8维研究后,一些希望解决24维问题的数学家找到她,于是他们开始研究 “Leech晶格”。Leech晶格对信息的处理方式就好比在24维度下排布球体,数学家们也一直认为这是最有效的解决方法。仅仅在E8文章公布一周之后,Viazovska和同事们又搞定了24维的问题

 

尽管两篇文章尚未接受同行评议,在数学圈内似乎并没有什么质疑。由于E8和Leech晶格与数学和物理的诸多领域关系密切, Viazovska等人的发现对未来的研究有着重要意义。

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辛几何&李代数

澳门金沙官网网址_澳门金沙开户注册_澳门金沙平台网站免平方字符串

免平方字符串

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字符串 hello 当中连续出现了两个 l 。字符串 prototype 当中连续出现了两个 ot 。字符串 nonsense 当中连续出现了两个 nse 。如果某个字符串中连续出现了两个相同的片段,换句话说这个字符串里面含有形如 XX 的模式(其中 X 代表一个子串),我们就说这个字符串中含有一个平方square)。如果某个字符串中没有平方出现,我们就说这个字符串是免平方的(square-free)。

如果只使用两种字符,比方说字符 0 和字符 1 的话,我们只能构造出一些长度非常有限的免平方字符串。事实上,我们只能构造出以下 6 个免平方字符串: 0 、 1 、 01 、 10 、 010 、 101。然而,如果允许使用三种字符,比方说字符 0 、 1 、 2 的话,我们不但能够构造出任意长的免平方字符串,还能构造出无限长的免平方字符串。在继续阅读下去之前,你不妨先自己试试看。

让我们先来看一个与刚才的讨论似乎毫不相关的问题。你能找出下面这个序列的规律吗?(考虑到字符串本质上就是一个字符序列,因此下面我们会经常混用字符串序列这两个概念。)

0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1 …

答案:它们分别表示 0, 1, 2, 3, 4, … 的二进制表达中有多少个数字 1 ,其中 0 代表有偶数个数字 1 , 1 代表有奇数个数字 1 。如果我还没说清楚的话,看看下表你应该就明白了。

十进制数

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

二进制数

0

1

10

11

100

101

110

111

1000

1001

1010

1011

1 的个数

偶数

奇数

奇数

偶数

奇数

偶数

偶数

奇数

奇数

偶数

偶数

奇数

序列

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

我们不妨把这个序列用 t 表示。序列 t 还有很多等价的定义,比方说,我们可以递归地定义,当n 为偶数时, t(n) = t(n/2) ,当 n 为奇数时,t(n) = 1 – t(n-1) ;最后再规定 a(0) = 0,整个序列就唯一地确定了。你会发现,定义方式虽然是新的,但是背后的实质仍然没变。如果 n是偶数,那么 n 的二进制表达的最后一位就是数字 0 ,除以 2 其实就相当于是去掉这个数字 0,数字 1 的个数的奇偶性显然没变。如果 n 是奇数,那么 n 的二进制表达的最后一位就是数字1,而 n – 1 的二进制表达的最后一位则是数字 0 ,这两个二进制数仅在最后一位有所不同,因此数字 1 的个数的奇偶性肯定是相反的。因而,不断这样递推下去,最后得到的序列与刚才的序列 t 一模一样。由于对于所有的偶数 n , t(n) = t(n/2) 始终成立,因此这个序列还有一个非常炫的性质:把序列中的 t(1), t(3), t(5), … 都去掉,仅保留 t(0), t(2), t(4), … ,由此得到了一个新的无穷序列,它和原来的序列完全相同!另外,由于对于所有的奇数 n , t(n) = 1 – t(n-1) = 1 – t((n-1)/2) 始终成立,你也可以选择去掉 t(0), t(2), t(4), … ,保留t(1), t(3), t(5), … ,由此得到一个新的无穷序列,它和原序列的每一项都正好相反。

在介绍序列 t 时,很多地方会采用另一种等价的定义方式:从 0 出发,不断执行取反并后置的操作,最终得到的序列就是序列 t 。所谓取反,就是把所有的 0 全部变成 1 ,把所有的 1 全部变成 0 ;所谓后置,就是把所得的字符串接在当前字符串的后面。从 0 出发,取反后得 1 ,把它加在 0 后面便得到 01 ; 01 取反后得 10 ,把它加在 01 后面便得到 0110; 0110 取反后得到 1001 ,把它加在 0110 后面便得到 01101001 ……不断这样下去,我们就会得到序列 t 。

 01  0110  01101001  0110100110010110  …

为什么?因为这种序列生成法的本质仍然是在统计二进制数的数字 1 的个数。我们不断地根据二进制数的规律,利用 t(0) 到 t(2n – 1) 的值,推出 t(2n) 到 t(2n+1 – 1) 的值。比方说,序列 t 的前 4 个数分别代表 00, 01, 10, 11 这 4 个二进制数中数字 1 的个数的奇偶性,那么序列 t 接下来的 4 个数就应该分别代表 100, 101, 110, 111 这 4 个二进制数中数字 1 的个数的奇偶性。前 4 个二进制数与后 4 个二进制数的区别仅仅在于最前面的那个数字 1 ,因而它们所含的数字 1 的个数的奇偶性应该正好相反。因此,如果序列 t 的前 4 个数分别是 0, 1, 1, 0,那么序列 t 接下来的 4 个数就应该完全反过来,分别是 1, 0, 0, 1 了。

 

从 1906 年到 1914 年,挪威数学家 Axel Thue 发表了一系列论文,第一次对这个序列进行了细致的研究,成为了 combinatorics on words 这个新的数学分支的开山之作。 1921 年,美国数学家 Marston Morse 把 Thue 提出的序列用在了微分拓扑上,因而这个序列最终被命名为了 Thue-Morse 序列。

Thue-Morse 序列有很多非常漂亮的性质。如果某个字符串中连续出现了两个相同的片段,但它们有一个字符的交叉,换句话说这个字符串当中出现了形如 aXaXa 的模式,其中 X 代表一个子串,a 代表一个字符,那么我们就说 aXa 在这个字符串当中发生了重叠overlap)。例如,单词banana 当中的 ana 就出现了重叠,单词 Mississippi 中的 issi 也出现了重叠。如果某个字符串中没有重叠出现,我们就说这个字符串是免重叠的(overlap-free)。下面我们就来证明Thue-Morse 序列的一个最为重要的性质:它是免重叠的。

我们采用反证法。假如 Thue-Morse 序列存在重叠子串,那么在所有的重叠子串中一定有一个最短的重叠子串。这意味着, Thue-Morse 序列将会包含 aXaXa 的模式,其中 X 表示某个子串, a表示某个字符,并且 X 的长度已经达到最小。首先我们证明, X 的长度不可能是奇数。否则,三个 a 的位置编号的奇偶性相同,因而如果我们从第一个 a 开始,间隔地读出各个字符,就会得到形如 aX’aX’a 的结果,其中 X’ 就是从 X 当中抽出的字符串,长度是 X 的一半(取下整)。然而,前面我们已经提到过 Thue-Morse 序列的性质了:间隔地抽取字符,得到的新字符串要么就是 Thue-Morse 序列,要么取反后就是 Thue-Morse 序列。这说明, aX’aX’a ,或者它取反后的结果,其实就是 Thue-Morse 序列的子串。因而, Thue-Morse 序列当中存在比 aXaXa 更短的重叠现象,这与 X 的长度的最小性矛盾。

接下来我们证明, X 的长度也不可能是偶数。首先注意到, 4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3 的二进制表达中,只有最后两位数字不一样,它们依次是 00, 01, 10, 11 。因此, t(4n), t(4n + 1), t(4n + 2), t(4n + 3) 的值要么依次是 0, 1, 1, 0 ,要么依次是 1, 0, 0, 1 。所以,如果我们把 Thue-Morse 序列四个数四个数地看作一组,你会发现 Thue-Morse 序列就是由一个一个的 (0, 1, 1, 0)  (1, 0, 0, 1) 组成的。

如果 X 的长度是大于等于 4 的偶数,那么不管 aXaXa 在 Thue-Morse 序列中的什么地方出现,前一个 aXa 里必然会包含某个四元组的中间两项,不妨假设这是 aXa 中的第 i 项和第 i + 1项。另外,别忘了 X 的长度是一个偶数,因此前一个 aXa 需要向右移动奇数个单位才能和后一个aXa 重合。这就矛盾了:向右移动奇数个单位后, aXa 的第 i 项和第 i + 1 项将会对应于另一个四元组的前面两项或者后面两项,于是前一个 aXa 的第 i 项和第 i + 1 项是两个相同的数字,后一个 aXa 中的第 i 项和第 i + 1 项是两个不同的数字,这显然是荒谬的。

免平方字符串

如果 X 的长度等于 2 , aXa 的长度会非常短,以至于会发生这样的情况:没有任何一个四元组的中间两项落在了前一个 aXa 的范围里,此时前面的推理就失效了。不过没关系,如果真的发生了这种情况, aXaXa 的位置只可能像下图这样,此时前一个 aXa 的第 1 项和第 2 项对应于某个四元组的后两项,但后一个 aXa 的第 1 项和第 2 项就会对应于下一个四元组的中间两项,矛盾依然存在。

免平方字符串

最后,如果 X 的长度为 0 呢?这就更不可能了。在 Thue-Morse 序列中,任意三个连续的字符都会涵盖到某个四元组的前面两项或者后面两项,因而包含两个不同的数字。因此,在 Thue-Morse序列中绝不可能有形如 aaa 的子串出现。

综上所述, Thue-Morse 序列中不可能包含形如 aXaXa 的子串,即 Thue-Morse 序列是免重叠的。

 

有了这个结论之后,我们就能解决本文最初提到的问题了。借助 Thue-Morse 序列,我们可以得到一个无限长的免平方字符串,其中只含 0 、 1 、 2 三种字符。方法很简单:只需要依次列出Thue-Morse 序列中相邻两个 0 之间有多少个 1 即可。在 Thue-Morse 序列中,第 1 个数字 0和第 2 个数字 0 之间夹着 2 个数字 1 ,第 2 个数字 0 和第 3 个数字 0 之间夹着 1 个数字1 ,第 3 个数字 0 和第 4 个数字 0 之间夹着 0 个数字 1 ,第 4 个数字 0 和第 5 个数字 0之间夹着 2 个数字 1 ……于是,我们就得到了一个以 2, 1, 0, 2 开头的无限字符串。注意,由于 Thue-Morse 序列中不可能出现三个或者三个以上的连续数字 1 ,因此所得字符串中不会出现大于等于 3 的数字,只有数字 0 、 1 和 2 。

Thue-Morse 序列: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0…
新的序列:2, 1, 0, 2, 0, 1, 2, …

为什么由此得到的序列是免平方的呢?很简单。如果新的序列里面出现了某个平方,比如 a1a2a3…ana1a2a3…an ,这就意味着 Thue-Morse 序列里出现了 0 1a1 0 1a2 0 1a3 0 … 0 1an 0 1a1 0 1a20 1a3 0 … 0 1an 0 (其中 1a1 表示连续 a1 个数字 1 ,以此类推),于是形成了重叠子串,与Thue-Morse 序列的免重叠性矛盾。

 

从 Thue-Morse 序列的免重叠性出发,我们还能得出很多有趣的推论。例如, Thue-Morse 序列一定是免立方的,即 Thue-Morse 序列中不存在形如 XXX 的子串。原因很简单:不妨假设 X = aX’,那么 XXX 实际上就是 aX’aX’aX’ ,其中 aX’aX’a 形成了重叠子串,又与 Thue-Morse 序列的免重叠性矛盾了。由此可以进一步推出, Thue-Morse 序列永远不会发生循环。原因很简单:如果 Thue-Morse 序列从某处开始发生循环,这就直接与 Thue-Morse 序列的免立方性矛盾了。

同时, Thue-Morse 序列是一个复现序列recurrent sequence),意即 Thue-Morse 序列中的每一个子串都会出现无穷多次。这个事实背后的原因也很简单。比方说,我们在 Thue-Morse序列当中取出 t(6)  t(10) 这么一段,它们是 0, 1, 1, 0, 0 ,表示二进制数 0110, 0111, 1000, 1001, 1010 的数字 1 的个数的奇偶性。那么, 0, 1, 1, 0, 0 今后一定会出现无数多次。在数到二进制数 110110, 110111, 111000, 111001, 111010 时,我们会再一次得到 0, 1, 1, 0, 0 ;在数到二进制数 1010110, 1010111, 1011000, 1011001, 1011010 时,我们会再一次得到 0, 1, 1, 0, 0 。这样的机会显然还有无穷多,例如,在数到二进制数 1101001000110,1101001000111, 1101001001000, 1101001001001, 1101001001010 时,我们会再一次得到 0, 1, 1, 0, 0 

构造一个复现序列很简单,任何一个循环序列即满足要求,比如 0, 1, 0, 1, 0, 1, … 。而Thue-Morse 序列则告诉了我们:存在不是循环序列的复现序列。

 

最后,我们再不加证明地给出两个与 Thue-Morse 序列有关的神奇结论。对于哪些正整数 k ≥ 2,存在两个大小相等的整数集合 A = {a1, a2, a3, …, an B = {b1, b2, b3, …, bn,使得

a1 + a2 + a3 + … + an = b1 + b2 + b3 + … + bn
a12 + a22 + a32 + … + an2 = b12 + b22 + b32 + … + bn2
……
a1k + a2k + a3k + … + ank = b1k + b2k + b3k + … + bnk

即集合 A 里的所有数与集合 B 里的所有数从 1 次方和到 k 次方和全都相等?当然,集合 A 和集合 B 必须是两个不同的集合。答案是,对于所有的正整数 k ≥ 2 ,满足要求的解都是存在的。利用 Thue-Morse 序列,我们可以得出一种 n = 2^k 的构造解,方法如下:取出 Thue-Morse序列的前 2k+1 位,即 t(0), t(1), …, t(2^(k+1) – 1),如果 t(i) = 0 ,就把 i 放进集合 A里,如果 t(i) = 1 ,就把 i 放进集合 B 里。

i

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

t(i)

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

 k = 3 时,如上表所示,根据规则,我们应该把 0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15 分为一组,把1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 分为另一组。神奇的事情出现了:下面三个等式真的是成立的!

0 + 3 + 5 + 6 + 9 + 10 + 12 + 15 = 1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 11 + 13 + 14
02 + 32 + 52 + 62 + 92 + 102 + 122 + 152 = 12 + 22 + 42 + 72 + 82 + 112 + 132 + 142
03 + 33 + 53 + 63 + 93 + 103 + 123 + 153 = 13 + 23 + 43 + 73 + 83 + 113 + 133 + 143

Thue-Morse 序列还能帮忙构造幻方。 1977 年, Adler Allan 和 Shuo-Yen Robert Li 给出了一种算法,可以利用 Thue-Morse 序列构造 2^n × 2^n的幻方(其中 n ≥ 2 )。首先,从左至右从上至下地把 1 到 2^2n的数填入 2^n × 2^n的方格里。然后,如果 Thue-Morse 序列中的第 i个数是 0 (即 t(i – 1) = 0 ),就把 i 从方格里拿出来。最后,把所有拿出来的数倒序放回方格,我们就得到了一个幻方。下图所示的是 n = 2 时的例子。由于 Thue-Morse 序列中的第 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16 个数是 0 ,因而我们把这些数从 4 × 4 的方阵中取出来;把它们以相反的顺序放回去后,可以验证,方阵中的每一行、每一列和两条对角线上的数字之和都是 34 。

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

t(i – 1)

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

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